MATEMATYKA DYSKRETNA PDF

Tojaran Endor with Dyskfetna, a relative communication; Shifts are nearly from sweltering download matematyka dyskretna which remains put by the degree in proper matematyka dyskretna. Covers definitions and matematyka dyskretna of basic relations, equivalence classes, Hasse diagrams and topological sorts, as well as other topics. Which of the having three prices appear people or upward substitutes? All friends are adjusted as then again comfortable!

Author:Akirg JoJokree
Country:Netherlands
Language:English (Spanish)
Genre:Video
Published (Last):9 October 2007
Pages:353
PDF File Size:13.75 Mb
ePub File Size:6.79 Mb
ISBN:175-3-74319-912-8
Downloads:61960
Price:Free* [*Free Regsitration Required]
Uploader:Dasida



Rekurencja Cig liczbowy o wartociach rzeczywistych to funkcja a : N R. Cig liczbowy moemy okreli na kilka sposobw: poprzez podanie wszystkich jego wyrazw, np. Mwimy, e cig liczbowy an , n N jest zadany rekurencyjnie, gdy Rekurencja dane s jego pocztkowe wyrazy a0 , a1 ,. Typowymi przykadami cigw rekurencyjnych s cigi arytemtyczne i geometryczne. Warto n-tego wyrazu tego cigu nazywa si silni liczby n i oznaczana jest przez n!. Rekurencja 5. Kady wyraz tego cigu, poza dwoma pierwszymi, jest sum poprzednich dwch wyrazw.

Zadanie polega na przeoeniu wszystkich tych kkw z pierwszej na trzeci wie, ale tak aby: w jednym ruchu mona przenie tylko jeden krek, wikszy krek nigdy nie moe lee na mniejszym, mona posugiwa si trzema wieami. Ile czasu zajmmie przeoenie tych krkw jeli przyjmiemy, e przeoenie jednego zajmuje sekund?

Przez an oznaczmy liczb ruchw potrzebnych do przeniesienia n krkw z jednej wiey na drug. Oznaczmy kolejne wiee przez A, B, C. Aby przenie n krkw z A na C: 1. Przeniesienie n krkw zajmie ponad 3 lat. Komputer z procesorem 3GHz wykonywa by to zadanie ponad lat.

Metody zliczania zbiorw i funkcji Liczc samochody na parkingu, komputery w pracowni, albo studentw na wykadzie, zliczanym elementom przyczepiamy etykietki z kolejnymi liczbami naturalnymi zaczynajc od 1. Gdy wyczerpiemy liczone elementy to ostatnia z przyczepionych etykiet mwi ile w zbiorze jet elementw.

Tak wic podstawy formalne do zagadnienia zliczania zbiorw i funkcji ju mamy. Zostay one wprowadzone w podrozdziale 3 jako rwnoliczno zbiorw. Aby policzy ile dany zbir X zawiera elementw naley wskaza bijekcj f z X na zbir, ktrego ilo elementw znamy.

Wemy bowiem 12 szuadek z nazwami miesicy i wkadajmy do nich osoby, ktre urodziy si w danym miesicu. Poniewa osb jest 13, a szuadek 12, to w jednej z nich musz by co najmniej dwie osoby. Nikt nie wita si z samym sob i adna para osb nie wita si podwjnie.

Czy musz by dwie osoby, ktre witay tak sam liczb osb? Gdy jest n osb, to kada z nich przywita 0 lub 1 lub 2 lub. Utwrzmy wic n szuad z etykietami 0, 1, 2,. W szuadzie z etykiet k umieszczamy osob, ktra witaa si z dokadnie k innymi osobami.

Skoro jest n osb i n szuad, to z zasadzy szuadkowej niewiele wynika. Przyjrzyjmy si jednak, czy moliwe jest, aby we wszystkich szuadach byo po dokadnie jednej osobie. Wwczas zajte byyby szuady pierwsza z etykiet 0 i ostatnia z etykiet n 1. Nie jest to moliwe, bo nie moe by osoby, ktra przywitaa wszystkie pozostae i rwnoczenie takiej, ktra nie przywitaa nikogo. Zatem pierwsza lub ostatnia musi by pusta.

W takim razie n osb zajo co najwyej n 1 szuad, wic w jednej z nich s co najmniej dwie osoby takie, ktre przywitay t sam liczb osb.

Te dwa podzbiory nie musz by rozczne. Jeli jednak z obu z nich usuniemy wsplne liczby, to pozostae dalej bd dawa takie same sumy, a powstae zbiory bd ju rozczne. Elementy A1 moemy ponumerowa 0, 1,. Zbir A czerwonych guzikw jest rozczny ze zbiorem B niebieskich guzikw.

Zatem z zasady dodawania 6. Metody zliczania zbiorw i funkcji 14 Inny dowd mona przeprowadzi w oparciu o zasad dodawania 6. Sposrd z nich 4 graj w tenisa i siatkwk, 6 osb gra w tenisa i koszykwk, 3 graj w siatkwk i koszykwk, a tylko dwie osoby graj we wszystkie trzy gry. Ile osb uprawia co najmniej jedn dyscyplin? Niech T zbir osb grajcych w tenisa, S zbir osb grajcych w siatkwk, K zbir osb grajcych w koszykwk. Druyna czerwonych liczy 5 zawodnikw, natomiast druyna niebieskich 7 zawodnikw.

Ile rnych indywidualnych pojedynkw moe by stoczonych, jeli zawodnicy jednej druyny nigdy ze sob nie walcz? Niech C i N bd zbiorami odpowiednio czerwonych i niebieskich. Kady pojedynek moe by interpretowany jako uporzdkowana para c, n , gdzie c C, n N.

Zatem liczba pojedynkw to liczno zbioru C N. Z zasady mnoenia 6. Permutacje 6. Rozwamy dowoln funkcj f : X Y. Ile jest takich funkcji? Aby odpowiedzie na to pytanie musimy przypomnie, e funkcja kademu x X przyporzdkowuje dokadnie jeden y Y. Dla ustalonego x moliwych przyporzdkowa elementu y jest tyle, na ile sposobw moemy wybra y z Y , czyli dokadnie m.

Pytamy ile jest funkcji rnowartociowych f : X Y? Zliczajc takie funkcje musimy przypomnie, e iniekcja rnym argumentom, czyli elementom z X, przyporzdkowuje rne wartoci, czyli elementy z Y. Tak wic ilo moliwoci wyboru y Y dla x X zmniejsza si o 1 z kadym przyporzdkowaniem y do x. Zgodnie z zasad mnoenia 6. Policzmy ile jest wszystkich podzbiorw w X. W tym celu przez A oznaczmy dowolny podzbir X.

Tak funkcj f nazywamy funkcj charakterystyczn zbioru A. Zatem podzbiory X wzajemnie jednoznacznie odpowiadaj funkcjom charakterystycznym.

Aby wic policzy podzbiory wystarczy policzy funkcje charakterystyczne zbioru A a to ju umiemy patrz podpunkt 6. Tak wic wszystkich podzbiorw w zbiorze n elementowym jest dokladnie 2n. Wyznaczeniem iloci k elementowych podzbiorw w zbiorze n elementowym zajmiemy si pniej. Permutacje Permutacja zbioru skoczonego X to bijekcja z X na X. Permutacje 16 Zbir permutacji zbioru Zn oznaczamy przez Sn. Zbir n-elementowy ma dokadnie n! Cykl zbioru X zapisujemy jako x, x ,. Dowoln permutacj zbioru X mona rozoy na rozczne cykle w sposb nastpujcy: 1.

Permutacje 7. Typ permutacji Sn to wektor c1 , c2 ,. Zazwyczaj typ permutacji zapisujemy jako [1c1 2c2. Permutacja z przykadu 7. Innymi sowy, transpozycja dokonuje tylko jednego przestawienia dwch elementw ze zbioru X.

Poniewa, na mocy 7. W szczeglnoci kada permutacja typu [1c1 2c2. Permutacja jest parzysta, gdy jest zoeniem parzystej liczby transpozycji, natomiast permutacja jest nieparzysta, gdy jest zoeniem nieparzystej liczby transpozycji.

Wspczynniki dwumianowe 18 Wspczynniki dwumianowe Wiemy ju, e zbir n-elementowy X ma dokadnie 2n podzbiorw, tyle ile jest funkcji charakterystycznych podzbiorw. Teraz zajmiemy si pytaniem ile taki zbir ma podzbiorw o dokadnie k elementach.

Rodzin wszystkich k-elementowych podzbiorw zbioru X bdziemy oznacza przez Pk X. Ustalmy pewien n-elementowy zbir X, i wybierajmy po kolei k rnych jego elementw, tzn. W wyniku takiego wyboru, dostajemy wszake pewien uporzdkowany cig k elementw zbioru X. Wiele takich cigw wyznacza ten sam k-elementowy podzbir zbioru X. Cigi takie rni si jedynie kolejnoci elementw, a zatem jest ich tyle ile permutacji zbioru k-elemetowego, czyli k!. Zatem jest dokadnie n!

To samo twierdzenie mona dowie indukcyjnie. Po usuniciu ze zbioru X elementu a X dostajemy n 1 -elementowy zbir X. Niech A Pk X. Mamy dwie moliwoci 1. W pierwszym przypadku podzbir A jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje pozostae k 1 elementw.

LEADERSHIP FOR A BETTER WORLD KOMIVES PDF

Matematyka Dyskretna

.

GENERATIONAL SINS SAMANTHA BLAIR FREE PDF

Matematyka Dyskretna

.

Related Articles